One Dimensional Finite Element Method
Calculus of Variations-3
ここで δy(x)は次の様に定義してみましょう。
そして δy(x)またはδy1は非常に小さな値を持つ関数ということにします。
つまり δy(x)2 nealy equal to 0 になるということです。
φ1(x)には WRMの例題で取り上げた
のと同じφ1(x)を使います。
後で詳しく説明しますが実はこのδy(x) が有限要素法の重み関数なのです。
またδy(x)のことを厳密解からの変分と言います。
領域の両端が Dirichlet 境界ですから境界では近似解と厳密解のy(x)が同じになります。
つまり次の様です。
上の条件から δy(0)=δy(L)=0 または
φ1(0)=φ1(L)=0 になりますね。
上の図(前のページ)も参考にして下さい。
つまり平たく言うとDirichlet型境界では誤差も変分もゼロと言うことですね。
次に δy1 を変化させた時に積分式の値(I)が どの様になるかチェックしてみましょう。
多分 皆様も想像つくと思いますが下図の様になります。
後ほど 例題を使って I を計算してみます。
δy1 がゼロの位置で I0 になっていることに注意して下さいね。
つまり δy1 を小さくして行くと 上の図から I は I0 に近づくことは明らかですね。
実際の問題では I0 の値は分かっていませんし δy1 も存在しません。
1つ明らかなことは I0 がδy1=0 で極値(最大または最小)になっていると仮定すると 上の図から 次の条件式が考えられます。
つまり関数の凸になっている点や凹んでいる点を探す条件式ですよね。
と、まー、こんな風にして話を先へ進めることはできますが、このままでは話がだんだん難しくなり皆様に読んでもらえない Homepage になってしまいます。
そこで、ここでは他の本にない方法で話を進めることにしましょう。
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