One Dimensional Finite Element Method
Calculus of Variations-6
そして y(x) と y'(x) を δy1 で微分すると下の様になります。
結果的に I をδy1 で微分した積分式は次の様に書けます。
上式の第1項には φ1 がかけられていますが第2項にはφ1の微分が掛け算されています。微分の階数を揃えるために、第2項に部分積分を施します。
すると次の様になります。
結果的に積分式は次の様になります。
領域の両端の境界条件はDirichlet でしたから
φ1(0)=φ1(L)=0 になります。
したがって上の積分式は下の様な WRM の基本式と同じ形になります。
領域の長さは任意ですから次のことも言えます。
上の式のことをEuler-Lagrange Equation と言い
y(x)が極値になる為の必要条件(∂I/∂δy1=0 またはδI=0)を満たしていることになりますよね。
この式については まだ先がありますがWRMの理屈を知る上では ここらへんで止めておきましょう。
”私は勉強してみたいなー”と思っている貴方は大学等の図書館や書店で変分法についての本を読んでみて下さい。
ここでは変分法の理屈よりも ここで導いたEuler-Lagrange Equation が正しいかどうかをチェックしてみましょう。
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