One Dimensional Finite Element Method
Linear Element-6

積分式の重み関数φ1(x)をN1(x)で置き換えると次の様になります。

まず上式の境界積分項ですがN1(x2)=0 で N1(x1)=1 ですから (du/dx)N1はxがx1でのdu/dxになります。ここでは便宜上下式のように定義します。 言葉で言うとx=x1でのdu/dxをq1とする。

上式の定義は今後Neumann型境界条件として扱われます。ここではBeamの勾配が指定できるということにしておきます。 よって境界積分は次の様になる。

次の領域積分では形状関数と未知数の微分が必要になります。 それらを計算すると次の様になります。 またu(x)=u1N1(x)+u2N2(x)だということをお忘れなく。

ここにL1は要素1の長さを意味します。したがって微分項の領域積分結果は下図の様にります。

そして、α2の項の積分にある uN1は要素1での近似式より次のように書けます。

u(x)N1(x)の積分で注意してもらいたい事が1つ有ります。一般にこの項のことを微分方程式では生成項(Source Term)と言い稀にこの項に独立変数(independent Variable)が含まれていることがあります。1次元Helmholtz Equstion の場合、独立変数は x ですがここで紹介しているHelmholtz Equstionには独立変数は有りません。
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