部分積分法をより一般的な形で書くと、次の様になります。ちょっと難しい形になっていますね。 まー、この式は、見なかったことにして下さい。

■Solid Mechanics■
これまでは、δu がスカラーでした。そして、未知数 u(x,y) もスカラーでしたね。 ポテンシャルや熱問題が、この部類に属します。 ところが、弾性力学になると(流体もそうですが)、未知数もδu ベクトルになってしまいます。 つまり、部分積分法も複雑なってしまうと言うことです。 ですから、頭がくしゃくしゃになりそうな人は、1次元のFEMへ進んでください。 弾性力学になじみのある方は、知っていると思いますが、仮想変位による仕事量は、次の様になっていますよね。 右辺の第1項が領域内部に与えられた外力による仕事量で、第2項が境界にえられた外力による仕事量です。

弾性力学では、人の名前の付いた式が沢山出てきます。 下の左は、Cauchy's formula と言って、境界とその直下での出来事を関係付けた重要な式です。 よーく見ると、当たり前な式ですね。 そして、せん断応力は、τ_ij=τ_ji ですから、通常よく見掛ける下の右式が得られます。 ここでも、下の右式をつかいます。

さて、ここで使う弾性力学でのDivergenceの定理は、Cauchy's formula をベースに、次の様に書くことができますね。 Stressはtensorで、δu_iとT_iはベクトルですが、下式はエネルギー(仕事)の式ですからスカラーになっていることに注意して下さいね。 だんだん難しくなってきますが、ついてこれる人は、頑張ってついてきて下さい。 "もーいーや"と言う人は、1次元のFEMへ進んでください。

微分ルールを上式の右辺に適用すると、下の様に2つ項に分離できます。今までと同じですね。