■Divergenceの定理から■
2次元3次元の部分積分法は、皆様に理解して頂きたい１つで、更に必ず理解して頂きたいものです。"ちょっと私には難しいなー"と言う人は、まー、ここはスキップしても良いでしょう。しかし、1次元のFEMが終了したら、必ずここへ帰って来て、勉強して下さいね。 1次元のときと同様に、Divergenceの定理から始めましょう。2次元ですと、その定理は、index notation で書くと、次の様でしたね。

部分積分法には、もう1つの変数が必要ですから、ここでは、δu を用いることにします。そして、上式の右辺にある q_i を q_iδu で置き換えます。すると、次の様になります。

左辺の積分される項目ですが、微分のルールに従うと、下の様な足し算の形になりますよね。

上の結果を Divergenceの定理に戻してあげると、下の部分積分法が出来あがります。ちょっと難しいですが、下の式が正しいかどうか確認してみて下さい。

このままでは、ちょっとなじみがない式ですので、 q_i を次の左の様な量で置き換えます。すると、部分積分法は、下の右に示す式になります。

左辺の積分される項は、LaplacianのL(u)になっていますね。例えば、支配方程式が、L(u)=0 だった場合、有限要素法の積分式は、次の様にります。つまり、この式をなんとか離散化すれば良いのですよ。