音響振動では、流体で満たされた閉空間がどんな圧力振動で共振するかを把握することができます。 ここでは主に空気で話を進めます。 特に車の室内の圧力共振周波数がいやな音だと長時間車を運転するのは辛いですよね。事前に共振周波数を調べて おくことにより良い設計ができます。

力学的に言うと音響振動は、圧力の時間的な微小変動が空気の密度に変化を与え、空気が 壁に反射するときに発生する振動を指します。振動するためには、領域を閉じなければなりません。 密度変化が発生するということは、空気に変位が発生していることになります。 実際、密度が高くなると、その点の圧力は周りより高くなります。そして早く元の状態に戻ろうとする力が 発生し密度は元の状態になります。しかし次の瞬間、広がろうとする空気は慣性力により密度は疎になり、 圧力は周辺より低くなります。
この繰り返しで密度変化は移動し壁で反射しします。すると、閉空間での反射ですので、ある周波数で 振動することになります。その周波数は、空気で満ちた部屋の大きさに関係します。 このときの密度波の速度、つまり波動速度が音速と言われcで表します。空気の場合約c=340m/sです。

ここでは、支配方程式の導出と有限要素法により離散化し、固有値を計算する方法を紹介します。離散化ではフルの三次元座標系と軸対称円筒座標系の2つの方法を紹介します。

■理論的背景■
固有値問題を解いてくれる支配方程式の三次元ヘルムホルツ方程式の導出を行ってみましょう。

音響振動は、圧力の時間的な微小変動が媒体(例：空気とか)の密度に変化を与え、壁に反射することにより振動することになる。 振動するためには、領域を閉じなければなりません。 密度変化が発生するということは、媒体(流体)に変位が発生していることになります。 実際、密度が高くなると、その点の圧力は周りより高くなります。 そして早く元の状態に戻ろうとする力が発生し密度は元の状態になります。 ところが慣性力に密度は疎になり、圧力は周辺より低くなります。 この繰り返しで密度変化は移動し壁で反射することになります。このときの密度波の速度、つまり波動速度が音速と言われcで表します。 空気の場合c=340m/sです。

実際のところ、密度変動や圧力変動を正確に表した式は無く、一般に波動方程式(Wave Equation)と 音速から固有振動数を割り出しているのが現状です。 例えば、1次元では、張力Tで張ってある弦の振動の波動方程式を導き固有値を導いている。 波の速度は、c=T/mです。ここに、m=弦の単位長さ当たりの質量です。2次元では、膜の振動が使われている。 波の速度は、c=τ/nです。ここに、τ=単位幅当たりの張力、n=単位面積当たりの質量です。では3次元ではどうか。 本来ならNavier-Stokes equationsから圧力変動の式が導けるはずですが、残念ながらNavier-Stokes equationsには、 圧力の2階微分の項はありません。唯一Navier-Poisson equationsに流れを圧力に変換してくれる項(λdiv V )がありますが、 かなり複雑になり到底ヘルムホルツ方程式にたどりつけません。つまり、数学的な操作をしない限り式は導出されないことになります。ということで文献を調査した結果、もっともらしい式の展開を発見しましたので紹介します。