前ページの条件に満足するのが、下のKernel function です。前にも言いましたが、Laplace equation の場合のKernel をGreen function とも言います。分母に係数Kがあることに注意して下さい。>Fundamentalsで紹介したKernel functionにはKがありませんでした。

ここに、r=|x-ξ| です。r₀=1 とします。

■Boundary Element Equation■
話しをResidualの積分式に戻します。有限要素法と同様に、まず2階微分項を、部分積分を使って境界積分と領域積分に分解します。すると、下のGreen's First Identity が生まれます。今から考えると、有限要素法は、Green's First Identity がベースになっていたことになります。

式を見やすくするために、次の変数を導入します。このフォームは、熱解析とGroundwater で出てきましたね。

ここからが、有限要素法と境界要素法の分かれ道です。太古の昔、動物が環境に適合するために進化を続けたように、境界要素法では 上の積分式の中にある∂h(x)/∂x_i を含む領域積分をもう一度、部分積分します。すると、次の様になります。