有限要素法や境界要素法に関係した数値解析を勉強していると、様々な法則や方程式に遭遇します。その中で、一際目立つのがGreen's Identities です。解析学で、重要な式の1つですので、しっかりと勉強し、理解して下さい。また、Green's Identities は、境界要素法と密接な関係にあります。

ここでは、まず、Green's Identities を導きます。そして、Laplace equation 用の境界要素法の基礎式を導きます。

■Green's Identities■
Green's Identitiesを説明するために、まず、関数 h(x,y) と G(x,y) を用意します。式の中では、記述する文字数を減らすために、h(x,y) と G(x,y)の代わりにh(x) と G(x) の様に記述するときもあります。次に、関数 h(x,y) を Laplace operator に代入し、関数G(x,y) を乗じます。つまり、L(h(x,y))G(x,y) です。ここに、L(h(x,y))=h,_ii です。そして、この積を下に示す様に領域積分します。有限要素法と同じですね。丁度、L(h(x,y))が、残差 R(u) で G(x,y) が重み関数といった感じになっていますね。

ここに、上で説明したように、(x)＝(x,y) を意味します。

そして、上のLaplace に対して部分積分を施します。すると、上の積分は、下式の様に境界積分と領域積分に分離することができます。ここまでは、有限要素法とまったく同じです。

上の式を Green's First Identity と言います。これで終りではありません。更にもう一度、部分積分を使います。今度は、上式の右辺の領域積分に施します。結果は、次のページに表示してあります。