それでは、早速、G_ij と F_ij の積分を手計算でやってみましょう。まず、Source point を要素1の中央にもってきます。そして、要素1上で積分を行うと、下の結果が得られます。下の数値をクリックすると詳細が表示されます。

上の値は、厳密に計算された値です。つまり、まだGauss-Legendre積分法は使っていません。F₁₁の計算は、R・n=0により結果が0になっていることに注目して下さい。ここで取り上げた要素は直線ですが、曲線になっていてもSource point近傍では、R・n=0になります。これについては、後程別のセクッションで詳細に説明します。

次に、Source point は移動せず、要素2上で積分を行います。すると以下の値が計算されます。この計算には、4-point Gauss Legendre 法を用いました。

この計算を要素4まで続けます。そして、C_ii=C_i は、F(x,ξ) の閉線積分ですから、次の様になります。

厳密的には、C=0.5 になるはずですが、上の値には、多少の数値計算誤差が現われているのが確認できます。 これは、4-point Gauss Legendre 法の数値積分からなる誤差です。ここで重要なことは、厳密解のC=0.5 で置き換えないことです。理由は、ΣF_ijとの整合性が取れなくなり、計算誤差が拡大するからです。つまり、数値計算の側から見ればC=0.5 は、(0.5-0.4998677)の誤差を含んでいることになります。

次は、Source point を要素2の中央に移動します。そして、同様に、要素1上での積分から始めます。結果は、下の様になります。

この計算も要素4まで続けます。この例題に限って、マトリックス [F] と [G] は対称になります。理由は、領域とSource point が対称だからです。