Capacitance4

Electromagnetics and Ham Radio
Capacitance4

そしてdivDは次の様に書けます。

\begin{array}{r} d i v D = \frac{\partial}{\partial x} (- ε \frac{\partial V}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial y} (- ε \frac{\partial V}{\partial y}) + \frac{\partial}{\partial z} (- ε \frac{\partial V}{\partial z}) \end{array}

よって最終的に、以下の静電界ポアソン方程式が出来上がりました。

\begin{array}{r} ∭_{D} (\frac{\partial}{\partial x} (- ε \frac{\partial V}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial y} (- ε \frac{\partial V}{\partial y}) + \frac{\partial}{\partial z} (- ε \frac{\partial V}{\partial z})) d v = Q \end{array}

インデックスノーテーションを使うと、以下の様に書けます。

\begin{array}{r} ∭_{D} \frac{\partial}{{\partial x}_{i}} (- ε \frac{\partial V}{{\partial x}_{i}}) d v = Q \end{array}

上の式から得られるのは、キャパシターの両電極に電荷+Qと-Qを与えたときの電極の電位Vおよび領域内の電界です。では、どのようにすれば電位を得られるかです。まず、必要なのが境界条件です。

■境界条件■
境界条件とは、領域の境界に与える条件です。与えられる境界条件の1つは、電位Vです。そしてもう１つが、ガウスの定理(Gauss's Law)にある電束密度Dです。電位が与えられない場合は、電束密度を与える必要があります。その逆も成立します。どういう仮定の下に電位を与えるのか、なぜ電束密度を与えるのか物理的な説明が必要になります。
ここでの問題は、電荷+Qと-Qを与えているので(Two-dimensional doublet)、無限遠での電界はゼロになります。よて、無限遠での電位をゼロ(V(∞)=0及びD(∞)=0)と置くことができます。これは今後、数値計算法(境界要素法)の展開で重要な要素になります。

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