Surface tractionと物体の表面の応力との間には、次の関係が成立します。

上の式の index j は、dummy index ですから、和をとることになります。例えば、x方向のSurface traction(T₁)は、方向がx軸と平行な全ての応力の合計になります。もっと理解を深めるために、2次元の領域を取り上げて、T_i = τ_ji n_jを説明します。下図を見て下さい。張り出し梁の先端のｘ面に、斜め上方向にSurface tractionが作用さています。それらをｘとｙ成分に分解すると、下図の様になります。また、normal vector は、n = n_xi + n_yj = 1i + 0jですから注意して下さいね。

つまり、T_x = |T|cos(θ)でT_y = |T|sin(θ)ですね。この図からうかがえることは、T_x =τ_xxでT_y =τ_xyになっていますよね。これらが、T_i = τ_ji n_jの式から得られれば問題ないですよね。計算すると、次の様になります。

ちゃーんと計算されていますね。ここに、n_x=1、n_y=0ですからね。このことから、T_i = τ_ji n_jは、境界面に作用しているSurface Tractionを座標軸のコンポーネントに分解していることになりますね。当たり前なことですがね。

下の表に、熱解析と弾性解析でのNeumann型境界条件の違いを書いてあります。熱解析では、領域内での物理量(Heat Flow)がvector(1st order tensor)です。この場合は、Neumann型境界条件がscalarになっていますよね。弾性解析だと、領域内での物理量(Stress) が2nd order tensor で、Neumann型境界条件がvector(1st order tensor)になっています。つまり、物理量が領域内から境界へ移ると、tensorのorderが１つ下がることになりますね。