次に法線方向の力のバランスは、ΣF_ｎ=0ですから、次の様になりますね。貴方も確認してくださいよ。

角度θが小さい場合、sin(θ)は、θと置くことができますね。sin(θ)のテーラー展開式を思い出して下さい。 すると、上式は、次の様になります。

上式にΣF_t=0の結果を代入し、Δθで割ると次の様になります。

そして、Δθ→0の極限をとると、上式の左辺の第2項は、消滅し、結果的に次の支配方程式が残ります。 つまり、１階微分方程式の出来上がりですね。

初期条件 T_in を用いると、次の様に書けます。

すると、T_inとT_outとの間に、次の関係が成立します。 つまり、初期条件 T_in が与えられると、T_outが計算されます。

角度βが大きいと、T_outは、指数的に大きくなることが分かりますね。 つまり、電柱にロープをぐるぐる巻きにすると、T_outは、非常に大きな力を発揮しますよね。