上のマトリクスの行列式＝0から得られるのは0=sinλsinhλです。よって、固有値はsinλ=0より以下になります。

■両端固定支持■
両端が固定の場合、両端にY(x)=0とY'(x)=0を与える必要があります。まず、x=0では、-C₂=C₄と-C₁=C₃が得られます。右端のx=Lで得られた結果にx=0での結果を代入すると、以下が得られます。両端自由と同じ結果になります。

つまり、以下を解くことになります。結果はROOT.DATです。

■固定とローラー支持■
左端つまりx=0を固定端とし、x=Lをローラーの単純支持とします。すると、Y(0)=0とY'(0)=0から0=C2+C4と0=C1+C3が得られます。つまり、C₂=-C₄とC₁=-C₃と言うことになります。そして、Y (L)=0とY"(L)=0から以下が得られます。 Y(L)=0より、0=C₁sinλ+C₂cosλ+C₃sinhλ+C₄coshλ Y"(L)=0より、0=-C₁sinλ-C₂cosλ+C₃sinhλ+C₄coshλ 結果的に以下が残ります。

マトリクスの行列式を計算すると以下になります。

上式の両辺をcosλcoshλで割ると次の式が得られます。関数tanhλは常に正の値で、λが大きくなると急速にtanhλ=1になります。従って、固有値λ₁はゼロでλ_nは、nπ近辺にあることになります。ここに、n＞1、tanλ/tanhλのλ→0の極限は１です。