それでは、早速様々なケースの梁の固有値を計算してみましょう。

■片持ち梁■
片持ち梁ですから、左端つまりx=0を固定端、x=Lを自由端とします。すると、 Y(0)=0とY'(0)=0から 0=C₂+C₄と0=C₁+C₃ が得られます。つまり、C₂=-C₄とC₁=-C₃と言うことになります。 そして、Y"(L)=0とY"'(L)=0から以下が得られます。

C₂=-C₄とC₁=-C₃から₃と₄を消去すると、 以下の結果がえられます。。

固有値λは上式を満足していなければなりません。つまり、上のマトリクスの行列式をゼロと置いたときが解になります。ここで注意したいことは、sin²(x)+cos²(x)=1 、cosh²(x)-sinh²(x)=1 です。これを踏まえると、行列式＝0は以下の結果になります。

上式の厳密解は有りませんが、近似解でしたらNewton-Raphson法で計算するすることができます。実際にFINDROOT.FORを実行すると、ファイルROOT.DATを出力します。最初の4つは以下のようになっています。。

固有値(λ)と固有振動数(ω)とは以下の関係であることは以前伝えました。