すると、行列[A]と[U]の積は[A]{x}_i=λ{x}_iの関係から[A][U]=[U][λ] が言えることは前にも言いました。 上式の両辺に前から[U]^-1を掛け算してみます。すると、以下の結果が得られます。 これも前に言いました。

上式で行列[A]を変換することを、代数学では相似変換(similar transformation)といいます。 または、[A]と[λ]を直交相似(orthogonally similar)と言います。 そして、相似変換しても[A]と[λ]の固有値は変化しません。

上の式の[U]と[λ]ですが、どうすれば得られるかがここでの問題です。 そこで、[U]は簡単にえられませんが、ある一つの直交行列なら簡単に作れます。 これをいま[P]₁としておきましょう。そして[A]=[A]₁とします。すると、以下の結果がえられます。

ここで重要なのが[A]₁と[A]₂の固有値には変化はありません。更に以下を計算します。

この計算をうまく行うと、終いには上式の右辺が対角要素の行列になります。つまり、以下のよう右辺が固有値になります。

そして固有ベクトルの入った直交行列[U]は以下で計算されます。

では、どのような[P]でどのような計算手順なら固有値行列[λ]が得られるのでしょうか。 ということで、まず、 下のように[A]が2×2の行列だった場合を考えて見ましょう。

この場合、a₁₂およびa₂₁がゼロになる[P]があれば、[λ]を簡単に手に入れることができます。 前にも言いましたが、この問題は、弾性力学で2次元の主応力を計算するのと全く同じ問題です。 [A]の対角要素が、τ_xxとτ_yyの法線応力に、非対角がτ_xyのせん断力に値します。 つまり、{x}₁を x₁= cosθ i- sinθ j とすると(長さは1)、直交する{x}₂は以下のよう書けます。