Coaxial2

Electromagnetics and Ham Radio
Coaxial2

■同軸ケーブルの微分方程式の厳密解■
分布電荷qを集中電荷とし、Gauss's Lawによる電束密度を絶縁体の芯線に接触している側に与えるので、式はラプラス方程式になり以下のように記述できます。

\begin{array}{r} - \frac{d}{d r} (r \frac{d V}{d r}) = 0 \end{array}

このように式が簡略化されると、以下の一般解が存在します。下式の対数関数のベースはeですので注意してください。

\begin{array}{r} V (r) = C_{0} + C_{1} {l o g}_{e} (\frac{r}{r_{0}}) \end{array}

上の解には、２つの未知数がありますので、境界条件も2つ必要になります。１つが下図に示す絶縁体の外側の編組線(藍色の円)で電位が基準値のゼロになります。つまり、V(b)=0です。

もう１つが芯線の表面(赤色の円)で、Gauss's Lawから以下になります。

\begin{array}{r} D_{n} (r) = \frac{Q}{2 π a} \end{array}

D_n(r)=-ε(dV/dr)ですから、D_n(a)=- εC₁/aになりますので、この結果を上の一般解に代入すると、未知数の１つのC₁は以下になります。

\begin{array}{r} C_{1} = \frac{Q}{2 π ε} \end{array}