■Source point を含む要素の積分■
数値積分で一番、注意を払う必要があるのが、Source point を含む要素上のKernel function G(x,ξ) の積分です。プログラムでは、出来るだけ精度を高いレベルに維持するように、設計しなくてはなりません。

しかし、2次要素は、1次要素と違い、要素を曲線にさせることが出来ます。よって、G(x,ξ) の積分の厳密解を導くことは、困難になってきます。そこで、もし、要素が曲線だった場合は、積分点の多いGauss-Legendre 法を用いることにします。しかし、要素が直線でかつ、η=0 の節点が要素の中央に位置している場合は、厳密解を使うことが出来ます。

厳密解は、次の様になります。

ここに、c₁＝-1/(2π)、ΔS=要素の長さです。それから、要素が直線の場合、F(x,ξ) に関する積分は、全てゼロです。

要素が曲線の場合の F(x,ξ) 積分について説明しましょう。書物を読むと、F(x,ξ) は、1/r² を含むため、積分に工夫が必要であると書いてあります。しかし、F(x,ξ) には、R・n が含まれているため、Source point の周辺では、F(x,ξ) がゼロになります。したがって、G(x,ξ) よりかなり安定した積分が得られることになります。つまり、わりと粗っぽい数値積分でも、高い精度が得られます。