■Mixed Form の概要■
一定要素から線形要素にすることにより、h(s) の精度は、向上しました。しかし、線形要素は、問題も一緒に連れてきています。そして、この問題の発端は、q_n(s) の離散化に有ることが分かりました。更に、この問題(つまり、Corner pproblems) の対処方法も紹介しました。連立方程式[A]{X}={RHS} を直接的に生成することにより、Corner pproblems の50%を処理してくれます。残りに50%は、2点法で補ってきました。しかし、この2点法は、暫定的な方法で、完璧な処理方法ではありません。

では、どうすれば完璧な境界要素法のプログラムを作ることができるでしょう。ここで言う完璧とは、トラブルフリーとのことであって、”商業的に素晴しい”という意味ではありません。

完璧な境界要素法として、離散化に一定要素(Constant element) を使うという手があります。しかし、一定要素では、h(x,y)の精度に不満が残ります。

そこで考えたのが、ここで紹介するMixed Form 法 です。h(s) を線形要素で、qn(s) を一定要素で離散化します。驚く程の方法ではありませんが、トラブルフリーで、全境界を一定要素で分割するより精度が上がります。

基本的に、境界上のq_n(s) は、節点で不連続になっています。これは節点において、境界線が smooth でないがために起こる事です。つまり、節点で q_n(s) を連続としていることに無理があるのです。 もちろん、q_x(s) と q_y(s) は、連続です。結果的に、q_n(s) を一定要素で離散化するのは、自然なやり方と言えます。

■要素分割■
まず、境界は、線形要素で分割します。一定要素の場合も境界は線形要素で分割していました。つまり、一定要素のInput data が、そのまま使えるということです。しかし、プログラムの中では、Source point を、要素の境界条件にしたがって、要素の中央かまたは節点に設けます。つまり、下表の様になります。

要素の境界条件が Dirichlet 型ですと、無条件にq_n を計算する準備をします。しかし、要素の境界条件が Neumann 型である場合は、単純に両節点(iとj)でh_iとh_jを計算する準備を始めるわけには、いきません。何故かと言うと、h_iまたはh_jさらに h_iとh_j は、既知かもしれませんからね。そこで、線形要素で説明した節点の境界条件(NDTYPE)で、節点の状況を判断します。