つまり、上流からやって来た流体の上半分は、ψ(x,y)=0 と ψ(x,y)=Ud の間を流れることになります。そして、領域内では、渦が発生しないという条件を流体に与えると、L(ψ(x,y))=0 が成り立ちます。つまり、Laplace 式を下の境界条件で解析すると、領域内の流速分布が得られることになります。 図中の v は、y軸方向の流速を意味します。

上図の左側面(-x面) の境界条件として、∂ψ/∂n＝0 を与えていますが、代わりにψ=Uy を与えることができます。結果に多少の違いは有りますが、∂ψ/∂n＝0 の方がψ=Uy に比べ、corner 問題を起こさないので良い結果が期待できます。左側面のψ=Uy については、計算結果で確認することにします。

数値解析を行う前に、ψ(x,y)=0 になる線を決めておく必要があります。つまり、ほぼ楕円柱のxとyの座標値です。この線を得る最も最適な方法として、Newton-Raphson 法があります。 ここでは、U=1, d=10, q=20, a=5 を用いて計算してみました。結果は、下表にまとめてあります。

Stagnation point である、(-7.171745,0.) の点は、u(x,y)=∂ψ/∂y=0 より計算しました。