この差分式にも、下に示すGeneral solution が存在します。

ここに、i は整数、D₁とD₂は境界条件によって決まる定数です。この時点で明らかなことは、A≠0 です。しかし、よく観察すると A＞0 の条件が必要になってきます。何故かと言うと、A ＜0だった場合、(B/A)ⁱの値のB/Aの符号が整数iによってスイッチすることになりますね。

また、|B|＞|A| ですから、|(B/A)ⁱ| は、iが大きくなりにつれ急激に大きくなります。ちなみに、下の条件で計算を行うと、下図のグラフ(FEM solution)に示す様な山切りの解が得られます。

図のグラフの様な結果を出す数値計算方法では、解析に役立ちません。このままで、一応満足する解をだすには、 A＞0 にする必要があります。つまり、要素の長さ(L)を、下式の条件に満足するように、 維持しなければなりません。

これは大変なことです。何故かと言うと、kとuか変わるたびに 要素の長さを変更しなければならないからです。

■Upwind Method■
要素の長さを変更しなくても、理屈にかなった解が得られないかと考え出されたのが、風上差分(後程説明)です。安定した解は得られる様になりましたが、風上差分の解析精度の保証がいまいちでした。 そこで、考えだされたのが、次に示すUpwind Methodです。

変数 A がゼロにならないように、A にαγを加算してやります。するとAは、下式の様になります。

そして、Bにもαγを加算してやります。 この理由については、後程、差分式のところで説明します。