支配方程式の初期条件と境界条件について、ちょっと述べておきます。初期条件(t=0)は、h₀=hですから、s(r,t=0)=0 となります。境界条件は、2つ必要になります。1つは、s(r=∞,t)=0。そして、もう1つは、

Q_wは、pummping の流量です。この条件については、後程詳しく説明します。

さた、Theis はここからどの様にして、解を導いたのでしょう。Theisは、先ほどの偏微分方程式(支配方程式)を、わりと簡単に解ける常微分方程式に変換するために、次の変数(u)を導入しました。tは、時間を意味します。

すると、偏微分方程式の各項目は、次の様になります。

上の内容を支配方程式に代入すると、下に示す常微分方程式が生まれます。

v=ds/du とおき、変数分離方を用いて積分すると、次の解が得られます。

c は、積分定数です。この定数の値は、境界条件が決定してくれます。