■Wave equation■
Helmholtz Equation について話しを進める前に、元の式であるwave equation について簡単に説明しておきます。下式は、2次元のwave equation です。変数Uは、(x,y,t)の関数です。

上の式を使って、膜の振動、水面の波の解析が可能になります。また、電磁気学では、wave equation と拘束条件を一般化したMaxwell equations が有ります。アンテナやIC chip の電磁場の解析を行うことができます。 上式の定数であるγは、問題によって、次の様に定義されています。

Wave equation をそのまま直接的に離散化し、数値解析する例は少ないです。では、どの様に解く例が多いかについて説明します。

数学でおなじみの変数分離(separation of variables) をwave equation に適応すると、変数ごとに Helmholtz equation が導き出されます。また、wave equation の時間項を hamonic だと仮定すると、同様にHelmholtz equation が導き出されます。つまり、変数(U(x,y,t))を次の様に書ける場合です。

ここに、ω＝2πf、f＝周波数(Hz)、i=複素数の虚数オペレーターで、ii^*=1 です。i^*=-i のことで、i の conjugate complex number と言います。

変数分離や複素数に関しては、数学や物理の本を見て下さい。また、wave equation についても時間があれば勉強しておいて下さい。