■Helmholtz equation■
上式を wave equation に代入すると、下に示すHelmholtz equationが出来上がります。

ここに、k=ω/γ で、k のことをwave number と言います。また、上式を次の様に記述することも多いです。

ここまで来ると、後は上の式を境界要素法で解くだけです。

■Boundary equation■
Laplace equation の時と同様に、上の式にWeighted Residual Method を施します。すると、次の様になります。

ここに、u=u(x)、G=G(x,ξ)、(x)=(x,y)、(x,ξ)=(x,y,ξ_x,ξ_y)、そして、G(x,ξ)は、Helmholtz equation のKernel function です。

上の式をindex notation で書くと、次の様になります。Index notation については、FEMのところで勉強しましたが、まだ理解していない人は、ここでもう一度、復習しておいて下さいね。

準備が整ったところで、上の式の2階微分の項に、部分積分を施します。すると、下式の様になります。